Τα μαθηματικά είναι μία πολύ ιδιαίτερη ικανότητα που έχουμε οι άνθρωποι και την οποία αξιοποιούμε καθημερινά, παρόλο που τις περισσότερες φορές δεν το αντιλαμβανόμαστε.

Αξιοποιούμε τις μαθηματικές μας ικανότητες, όταν μετράμε τα ρέστα που πρέπει να πάρουμε κατά τη διάρκεια των αγορών μας, όταν πρέπει να χωρίσουμε ένα λογαριασμό στη μέση ή όταν πρέπει να υπολογίσουμε πόσα χρήματα θα μας μείνουν στο τέλος του μήνα όταν θα έχουμε τελειώσει με τις βασικές μας υποχρεώσεις. Όταν κάποιος δυσκολεύεται λοιπόν σε αυτό τον τομέα, μπορεί να έχει αρκετά μεγάλες δυσκολίες στην καθημερινότητά του.

Αν και δεν υπάρχει ένας σαφής, κοινά αποδεκτός ορισμός της μαθηματικής ικανότητας, εντούτοις μπορούμε να εστιάσουμε σε κάποια βασικά χαρακτηριστικά της. Σύμφωνα με τον Kersenty ^[1]Karsenty R. (2014) Mathematical Ability. In: Lerman S. (eds) Encyclopedia of Mathematics Education. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-4978-8_94, ως ικανότητα στα μαθηματικά μπορούμε να ορίσουμε την ικανότητα αντίληψης, επεξεργασίας και συγκράτησης μαθηματικών πληροφοριών, την ικανότητα εκμάθησης μαθηματικών ιδεών, αλλά και την ικανότητα πραγματοποίησης μαθηματικών πράξεων με στόχο την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.

Παρατηρούμε ότι αυτός ο ορισμός περιέχει πολλές διαφορετικές παραμέτρους και εμπλέκει πολλές γνωστικές διεργασίες. Η μαθηματική ικανότητα απαιτεί συντονισμό αντιληπτικών ικανοτήτων ως προς τα ερεθίσματα και δεδομένα που πρόκειται να υποστούν κάποιου είδους επεξεργασία, των ικανοτήτων επεξεργασίας αυτών των δεδομένων αλλά και μνήμη για τη συγκράτηση των πληροφοριών που ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε κατά την επίλυση ενός μαθηματικού τύπου προβλήματος.

Για παράδειγμα, εάν πρέπει να υπολογίσουμε τα ρέστα μας, θα πρέπει να εντοπίσουμε τις τιμές των προϊόντων, να τις συγκρατήσουμε στη μνήμη μας, να προσθέσουμε το σύνολο του κόστους των αγορών μας, να ανασύρουμε από τη μνήμη μας το ποσό που δώσαμε και τέλος να προχωρήσουμε στην αφαίρεση του συνολικού κόστους από το ποσό που δώσαμε στην ταμία, ώστε να καταλήξουμε στα αναμενόμενα ρέστα. Εάν υπάρχει και μία έκπτωση σε κάποια προϊόντα, τότε ο αλγόριθμος επίλυσης γίνεται πιο περίπλοκος, καθώς απαιτούνται επιπλέον στάδια. Πέρα από την επίλυση απλών μαθηματικών πράξεων, η μαθηματική ικανότητα αναφέρεται και σε επιπλέον τομείς αντίληψης των σχέσεων των αντικειμένων, σειροθέτησής τους βάσει μεγεθών και ταξινόμησής τους βάσει ιδιοτήτων.

Το βασικό ερώτημα που γεννάται όμως είναι που εδράζονται αλλά –κυρίως- πως αναπτύσσονται όλες αυτές οι επιμέρους γνωστικές λειτουργίες που το σύνολο και η αρμονική εκτέλεσή τους συνιστούν τη μαθηματική ικανότητα. Πρόκειται για μία ικανότητα με την οποία γεννιόμαστε ή μία η οποία αναπτύσσεται αργότερα στη ζωή μας; Υπάρχει μία βασική μαθηματική ικανότητα, από την οποία πηγάζουν οι υπόλοιπες επιμέρους ικανότητες ή το σύνολο των επιμέρους ικανοτήτων συνιστούν εν τέλει αυτό που αντιλαμβανόμαστε ως μαθηματική ικανότητα; Υπάρχουν δύο βασικές θεωρήσεις γύρω από την ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων.

Αίσθηση του αριθμού

Σύμφωνα με τα την πρώτη, η μαθηματική ικανότητα οφείλεται σε μία ικανότητα που έχουμε όλοι οι άνθρωποι εκ γεννετής και η οποία ονομάζεται «αίσθηση του αριθμού». Οι Gersten και Chard ^[2]Gersten, R., & Chard, D. (1999). Number sense: Rethinking arithmetic instruction for students with mathematical disabilities. The Journal of Special Education, 33(1), 18–28. http://www.ldonline.org/article/5838 που περιέγραψαν λεπτομερώς αυτή τη θεωρία αναφέρονται στην «αίσθηση του αριθμού» ως την ικανότητα που αναπτύσσουν (ή αποτυγχάνουν να αναπτύξουν) τα παιδιά για την κατανόηση, διαχείριση και πραγματοποίηση νοερών μαθηματικών υπολογισμών και σύγκρισης αριθμητικών δεδομένων.

Ένας μαθητής με καλή αίσθηση των αριθμών μπορεί να αντιληφθεί και να επεξεργαστεί τόσο ποσότητες στην καθημερινότητά του όσο και αριθμούς. Τα παιδιά με καλή αίσθηση αριθμού είναι σε θέση να προσεγγίσουν ένα πρόβλημα με διαφορετικούς τρόπους, ενώ μπορούν να αντιληφθούν την έννοια των αριθμών συνδέοντάς τους με αντικείμενα της καθημερινότητάς τους. Τέλος, είναι σε θέση να κάνουν εύκολα συγκρίσεις μεγεθών αλλά και να αντιληφθούν τις διάφορες κλίμακες μεγεθών. Τα παιδιά που δεν έχουν τόσο ανεπτυγμένη την αίσθηση των αριθμών αποτυγχάνουν σε ένα ή περισσότερους από αυτούς τους τομείς.

Σύμφωνα με τη θεώρηση αυτή, η «αίσθηση του αριθμού» αποτελεί τον βασικό πυρήνα της μαθηματικής σκέψης και αν και αναπτύσσεται σταδιακά και πάντα σε αλληλεπίδραση με το περιβάλλον, εντούτοις είναι μία ικανότητα η οποία είναι εμφανής ήδη από τα πρώτα στάδια της ζωής μας. Ένα περιβάλλον πλούσιο σε ερεθίσματα και το οποίο ενθαρρύνει το παιδί να διδαχθεί και να εξασκηθεί με τη διαχείριση ποσοτήτων και μεγεθών λειτουργεί ευνοϊκά ως προς την ανάπτυξη αυτής της ικανότητας. Αντίθετα, ένα περιβάλλον λιγότερο υποστηρικτικό ή πλούσιο σε τέτοιου είδους ερεθίσματα δεν λειτουργεί διευκολυντικά ως προς την ανάπτυξή της.

Τα διαθέσιμα ερευνητικά δεδομένα πράγματι υποστηρίζουν ότι έχουμε κάποιες έμφυτες ικανότητες αναγνώρισης αριθμητικών δεδομένων, οι οποίες είναι εμφανείς ήδη από την βρεφική ηλικία ^[3]Libertus, M. E., Braham, E. J., & Liu, R. (2017). Infants discriminate number: evidence against the prerequisite of visual object individuation and the primacy of continuous magnitude. Behavioral and Brain Sciences, 40. https://doi.org/10.1017/S0140525X16002144 . Για παράδειγμα, ένας κλασσικός τρόπος για να αντιληφθεί κανείς τις έννοιες που μπορεί να αντιλαμβάνονται τα βρέφη είναι αξιοποιώντας την ικανότητά τους να παρατηρούν διάφορα ερεθίσματα που παρουσιάζονται οπτικά ή ακουστικά. Όταν τα βρέφη κοιτούν για πολύ ώρα μία σειρά από ίδια ερεθίσματα τότε χάνουν το ενδιαφέρον τους και κοιτάνε αλλού. Όταν όμως υπάρχουν νέα ερεθίσματα στο περιβάλλον τους, τότε η προσοχή τους στρέφεται εκεί. Σε μια σειρά από πειράματα με βρέφη που τους δείχνουν μια σειρά από οπτικά ερεθίσματα έχει βρεθεί συστηματικά ότι στρέφουν το βλέμμα τους αλλού πιο γρήγορα όταν ο αριθμός των ερεθισμάτων παραμένει σταθερός αλλά αλλάζει η μορφή των ερεθισμάτων, εν συγκρίσει με τις περιπτώσεις όπου ο αριθμός των ερεθισμάτων αλλάζει. Αυτό υποδεικνύει ότι αντιλαμβάνονται πως έχει αλλάξει ο αριθμός των ερεθισμάτων στο περιβάλλον τους και αυτό τους κινεί το ενδιαφέρον ^[4]Nieder, A. (2019). Biological Heritage in the Human Brain. Στο A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct (σσ. 77–80). The MIT Press.. Επιπλέον, ακολουθώντας παρόμοια πειραματική μεθοδολογία, έχει βρεθεί ότι τα βρέφη μπορούν να διακρίνουν ανάμεσα σε δύο διαφορετικά αριθμητικά μεγέθη ερεθισμάτων ^[5]de Hevia MD, Castaldi E, Streri A, Eger E, Izard V. Perceiving numerosity from birth. Behav Brain Sci. 2017 Jan;40:e169. doi: 10.1017/S0140525X16002090. PMID: 29342652 .

Περεταίρω ερευνητικά δεδομένα υποδεικνύουν ότι οι αριθμητικές ικανότητες των βρεφών δεν επικεντρώνονται αποκλειστικά και μόνο στην αντίληψη οπτικών ερεθισμάτων. Για παράδειγμα ο Nider (2019) αναφέρει ότι τα βρέφη τείνουν να κοιτάνε για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα αριθμητικές ποσότητες που εμφανίζονται οπτικά όταν αυτές συνοδεύονται από αντίστοιχο αριθμό ήχων (π.χ. 3 κύκλοι και 3 «μπιπ») εν συγκρίσει με τις περιπτώσεις όπου ο αριθμός των ήχων δεν συμβαδίζει με τα προβαλλόμενα οπτικά ερεθίσματα. Οι Rugani και οι συνεργάτες της ^[6]Rugani, R., & de Hevia, M.-D. (2017). Number-space associations without language: Evidence from preverbal human infants and non-human animal species. Psychonomic Bulletin & Review, 24(2), 352–369. https://doi.org/10.3758/s13423-016-1126-2 ανέλυσαν εκτενώς ερευνητικά δεδομένα που υποστηρίζουν ότι ήδη από τη βρεφική ηλικία έχουμε την τάση να ξεχωρίζουμε ανάμεσα σε ποσότητες (πολύ – λίγο), συνδέοντας μάλιστα τις ποσότητες αυτές με συγκεκριμένη οπτικοχωρική θέση στο περιβάλλον μας, με τις μικρές ποσότητες να αναμένονται στα αριστερά μας και τις μεγάλες στα δεξιά μας. Επομένως παρατηρούμε ότι υπάρχουν επαρκή ερευνητικά δεδομένα που να υποστηρίζουν την ύπαρξη ενός βασικού πυρήνα μαθηματικής ικανότητας σχετιζομενης με την αίσθηση ποσοτήτων και αριθμών ήδη από τη γέννησή μας.

Πολυπαραγοντική θεώρηση

Η δεύτερη προσέγγιση στην ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές ικανότητες δεν προέρχονται από μία πρωταρχική γενική ικανότητα, όπως η «αίσθηση του αριθμού», η οποία υπάρχει ήδη από τη γέννησή μας. Αντίθετα, οι μαθηματικές ικανότητες αναπτύσσονται σταδιακά και βασίζονται σε πολλά και διαφορετικά γνωστικά συστήματα, τα οποία λειτουργούν παράλληλα.

Σύμφωνα με αυτή την πολυπαραγοντική θεώρηση, η αντίληψη αριθμητικών σχέσεων και η αντίληψη ποσοτήτων αποκτάται σταδιακά από τη γέννηση έως και τα πρώτα χρόνια της σχολικής μας ζωής ^[7]Leibovich, T., Katzin, N., Harel, M., & Henik, A. (2017). From “sense of number” to “sense of magnitude”: The role of continuous magnitudes in numerical cognition. Behavioral and Brain Sciences, 40, e164. https://doi.org/10.1017/S0140525X16000960  ^[8]Sousa, D. A. (2016). How the brain learns. Corwin Press . Το θεωρητικό αυτό μοντέλο λαμβάνει υπόψη συγκεκριμένα αναπτυξιακά στάδια και τη σειρά ανάπτυξης γνωστικών και νευροφυσιολογικών ικανοτήτων των παιδιών. Οι Leibovich και συνεργάτες (2017) βασιζόμενοι σε ερευνητικά δεδομένα της ομάδας τους αλλά και αποτελέσματα τρίτων ερευνών περιγράφουν τη διαδικασία ανάπτυξης των μαθηματικών ικανοτήτων μέσα από μια σειρά από στάδια.

1. Όταν γεννιόμαστε, δεν έχουμε ακόμη ανεπτυγμένη την ικανότητα διάκρισης ερεθισμάτων. Αποτέλεσμα αυτού είναι τα βρέφη να μην μπορούν να διακρίνουν συγκεκριμένα αντικείμενα και να τα διαχωρίσουν μεταξύ τους. Οπότε σε αυτή την περίπτωση η βασική σύγκριση που μπορεί να γίνει είναι βάσει του μεγέθους των οπτικών ερεθισμάτων, διαχωρίζοντας ουσιαστικά το «μεγάλο» από το «μικρό».
2. Σταδιακά, καθώς η όραση οξύνεται, είμαστε σε θέση να διακρίνουμε ξεκάθαρα τα διαφορετικά αντικείμενα και τα αναγνωρίζουμε ως διακριτά μεταξύ τους. Αυτό δεν σημαίνει ότι ξέρουμε να τα μετράμε, αλλά ότι πλέον δεν βασιζόμαστε αποκλειστικά στη σύγκριση των μεγεθών των ασαφών ερεθισμάτων, αλλά και στη διάκριση των μεγάλων ερεθισμάτων στα επιμέρους στοιχεία τους.
3. Μετά το πρώτο έτος ζωής, όταν αρχίζει και αναπτύσσεται η γλωσσική ικανότητα, τα παιδιά μπορούν να κατονομάζουν μικρές ποσότητες αντικειμένων, χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη λέξη. Για παράδειγμα θέλουν και ζητάνε «ένα κουτάλι» και όχι «δύο κουτάλια».
4. Κατά την προνηπιακή και νηπιακή ηλικία, η ικανότητα κατονομασίας μικρών αριθμών αντικειμένων ισχυροποιείται και σταδιακά τα παιδιά μπορούν να κάνουν συγκρίσεις ποσοτικών σχέσεων τύπου «περισσότερα» και «λιγότερα». Σε αυτή τη φάση είναι λογικό ένα ποσοστό των παιδιών να μπερδεύουν τις έννοιες «μεγαλύτερο-μικρότερο» και «λιγότερο-περισσότερο».
5. Έπειτα, αναπτύσσοντας το γνωστικό έλεγχο, τα παιδιά αρχίζουν και διαχωρίζουν τις ποσοτικές έννοιες από τη σύγκριση μεγεθών, κάτι που τα οδηγεί στο τελικό στάδιο ανάπτυξης των μαθηματικών ικανοτήτων.
6. Στο τέλος της νηπιακής ηλικίας και στις αρχές τις σχολικής, τα παιδιά είναι πλέον σε θέση όχι απλά να κατονομάζουν αριθμούς, αλλά και να τους διαχωρίζουν βάσει των ποσοτήτων που αντιπροσωπεύουν. Ταυτόχρονα, είναι σε θέση να κάνουν βασικές συγκρίσεις ποσοτήτων και πλέον διαχωρίζουν την ποσότητα από το μέγεθος  (π.χ. το «δύο» αντιπροσωπεύει 2 μήλα, ενώ το «πέντε» αναφέρεται σε 5 μήλα, τα οποία είναι περισσότερα από τα 2, άσχετα εάν τα 2 μήλα είναι πιο μεγάλα σε μέγεθος από τα 5).

Σε αυτό το τελικό στάδιο είναι που πλέον έχει αναπτυχθεί πλήρως η αριθμητική ικανότητα και πλέον μπορούμε να δούμε σαφείς διαφοροποιήσεις στην ανάπτυξή της μεταξύ των παιδιών που έχουν ΕΜΔΜ και των παιδιών τυπικής ανάπτυξης. Είναι σημαντικό το γεγονός της εμπλοκής της γλώσσας σε αυτό το θεωρητικό πλαίσιο, καθώς αυτό αποκλίνει από τη θεώρηση μιας γενικής, επίκτητης και πρώιμης μαθηματικής ικανότητας, όπως η «αίσθηση του αριθμού» η οποία είναι ανεξάρτητη από τρίτα συστήματα, όπως είναι η γλώσσα, η οποία έρχεται αργότερα να εμπλουτίσει αυτή την ικανότητα, δίχως όμως να την καθορίζει.

Οι ερευνητές που υιοθετούν τη πολυπαραγοντική θεώρηση ανάπτυξης της μαθηματικής ικανότητας πέραν της αναπτυξιακής πορείας, την οποία θεωρούν εξαιρετικά σημαντική, δίνουν έμφαση και στο διαχωρισμό της ικανότητας αυτής σε περισσότερα του ενός υπο-συστήματα. Όπως είδαμε, οι μαθηματικές ικανότητες είναι σύνθετες και είναι αναμενόμενο να εμπλέκουν περισσότερες του ενός γνωστικών συστημάτων. Αυτά τα γνωστικά υποσυστήματα αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες νευρολογικές δομές του κεντρικού νευρικού συστήματος (κυρίως του εγκεφάλου) και η αλληλεπίδραση μεταξύ τους οδηγεί στην ανάπτυξη των επιμέρους μαθηματικών δεξιοτήτων, οι οποίες συνθέτουν τη γενική μαθηματική ικανότητα ^[9]Geary, D. C. (2004). Mathematics and Learning Disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37(1), 4–15. https://doi.org/10.1177/00222194040370010201 .

Συνοψίζοντας το θεωρητικό πολυπαραγοντικό πλαίσιο ανάπτυξης των μαθηματικών ικανοτήτων, όπως περιεγράφηκε από τον Geary (2004) μπορούμε να πούμε πως υπάρχουν 4 βασικοί παράγοντες που επηρεάζουν την ανάπτυξή τους.

1. Το οπτικοχωρικό σύστημα, το οποίο είναι υπεύθυνο για την αναπαράσταση και επεξεργασία οπτικών δεδομένων και χωρικών σχέσεων μεταξύ τους. Το σύστημα αυτό είναι βασικό για την κατανόηση και επεξεργασία γεωμετρικών σχέσεων, συγκρίσεων μεγεθών αλλά και συγκρίσεων ποσοτήτων.
2. Το γλωσσικό σύστημα, το οποίο είναι υπεύθυνο αντίστοιχα για την αναπαράσταση και επεξεργασία λεκτικών δεδομένων σχετιζόμενων με τα αριθμητικά δεδομένα (π.χ. κατονομασία αριθμών, αριθμητικών σχέσεων, και μαθηματικών διαδικασιών).
3. Για την υποστήριξη αυτών των δύο πρώτων συστημάτων απαιτείται και η ύπαρξη ενός κεντρικού επεξεργαστή πληροφοριών, ο οποίος εκτός της σύνθεσης των πληροφοριών που εξάγονται από τα πρώτα δύο υποσυστήματα είναι υπεύθυνος για την συν-επεξεργασία τους. Επιπλέον, αυτό το κεντρικό σύστημα επεξεργασίας είναι υπεύθυνο για τη διαχείρισης της προσοχής, διαχωρίζοντας τις σχετικές από τις άσχετες πληροφορίες που απαιτούνται για την εξαγωγή κάποιων συμπερασμάτων μαθηματικής φύσεως.
4. Τέλος, η αποτελεσματική μάθηση μέσα και εκτός του σχολικού πλαισίου είναι επίσης βασική στην ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων. Πέραν της αντίληψης που έχει ένα παιδί, είναι σημαντικό να διδαχθεί αποτελεσματικά κάποιες μαθηματικές έννοιες, ώστε να μπορέσει να συνθέσει τις πληροφορίες και να εξάγει μαθηματικά συμπεράσματα. Ο παράγοντας της μάθησης αναφέρεται στην εκμάθηση μαθηματικών ιδεών και διαδικασιών (π.χ. μάθηση δεκαδικού συστήματος, εκμάθηση διαδικασιών πολλαπλασιασμού).

Η ανάπτυξη των ειδικών μαθησιακών δυσκολιών έρχεται ως αποτέλεσμα ανεπαρκούς ανάπτυξης της μαθηματικής ικανότητας. Ανάλογα με το θεωρητικό πλαίσιο, αυτή η έκπτωση λαμβάνει χώρα σε επίπεδο μίας κεντρικής, βιολογικής φύσεως και ανεξάρτητης ικανότητας όπως είναι η «αίσθηση του αριθμού», είτε σε ένα ή περισσότερα υποσυστήματα τα οποία συνθέτουν αυτή την ικανότητα. Οι δύο θεωρητικές προσεγγίσεις που αναφέραμε δεν αποκλείουν η μία την άλλη.

Για την ακρίβεια, στο σύνθετο ερευνητικό περιβάλλον διερεύνησης των ειδικών μαθησιακών διαταραχών των μαθηματικών (ΕΜΔΜ), αξιολογούνται και λαμβάνονται υπόψη στοιχεία και των δύο προσεγγίσεων και συνήθως γίνεται μια σύνθεση των πληροφοριών όλων των προσεγγίσεων, με στόχο την σφαιρική διερεύνηση του θέματος. Ανεξάρτητα από το θεωρητικό υπόβαθρο το οποίο υιοθετεί κανείς, είναι σημαντικό να υπογραμμίσουμε ότι οι ΕΜΔΜ έχουν ένα σαφές βιολογικό υπόβαθρο, με το περιβάλλον και την εκπαίδευση να παίζουν μεν σημαντικό ρόλο στον τρόπο με τον οποίο θα εμφανιστούν, αλλά να μην αποτελούν την βασική αιτία.

Φωτογραφίες

• The never ending math problem, by Danny

• About
• Latest Posts

Δημήτρης Αγοραστός

Ψυχολόγος και κάτοχος μεταπτυχιακού διπλώματος στη Σχολική Ψυχολογία (ΑΠΘ) και στις Νευροσυμπεριφορικές Επιστήμες (University of Tuebingen). Ασχολείται με την ανάπτυξη ψυχοεκπαιδευτικών προγραμμάτων για παιδιά και εφήβους με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες, την αξιολόγησή τους στα πλαίσια εντοπισμού και αντιμετώπισης μαθησιακών και ψυχοσυναισθηματικών δυσκολιών, αλλά και την υποστήριξη της σχολικής κοινότητας εν τω συνόλω. Επιπλέον, μέσα από τις δομές και τις υπηρεσίες στις οποίες εργάζεται, παρέχει συμβουλευτική υποστήριξη γονέων και παιδιών.Έχει εμπειρία παροχής ψυχοκοινωνικής υποστήριξης σε ευάλωτες ομάδες πληθυσμού.

Latest posts by Δημήτρης Αγοραστός (see all)

• Εναντιωματική συμπεριφορά παιδιών: τι μπορούν να κάνουν οι γονείς - 14 Νοεμβρίου, 2024
• Οι αλλαγή των εποχών επηρεάζει την ηθική μας πυξίδα - 14 Οκτωβρίου, 2024
• Ακαδημαϊκή επιτυχία: εστιάζοντας πέρα από την υψηλή νοημοσύνη - 17 Σεπτεμβρίου, 2024